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日志

 
 

星暴星团韦斯特伦德 1 的质量分层和伸长(Gennaro 等人 2011)(下)  

2012-04-25 21:31:44|  分类: 外论选译 |  标签: |举报 |字号 订阅

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附录 A:完备度图

在本附录中,我们将一步一步地描述怎样获得 Wd 1 的二维完备度图 *

 


*  对应的 IDL 程序可向作者索取。——原注

 

 

A1. 虚构恒星的加入和检测

基本的想法是使用与由 DAOPHOT 作点扩散函数拟合时得到的相同的点扩散函数把恒星(使用 DAOPHOT addstar 任务)加入到被归算的图像中,然后运行相同的点扩散函数拟合测光程序,看看这些虚构恒星是否能够重新获取。每次运行加入 50 颗恒星,以免改变画面中的拥挤状况。这些恒星在画面中的位置是随机取的,并且星等均匀分布。为了达到足够的空间分辨率,我们把这一过程进行迭代,直到我们加入的恒星每单位星等有 4500 颗。使用的星等区间的实际大小是 0.5 星等,只要检测得出的输入星等与输出星等之差小于 0.5 星等,我们就认为虚构的恒星已经重新获得。这一模拟所跨的星等范围就是在新技术望远镜上用索菲仪器进行观测所检测到的 Wd 1 成员星的典型的星等范围,在线性区域的极限之上,而低于检测的阈值,即 J [11.35, 19.35] 星等和 KS [9.8, 17.8] 星等;这两个星等范围对应于质量在 0.3 30 M 之间,准确的数值取决于年龄、距离和消光的数值(见第 7 节)。整个星等范围被分为 16 个区间,每个区间宽为 0.5 星等。

检测器的有效面积 A eff = Lx×Ly = 876×920 像素2 ,这是由不同滤光片的观测结果之间共同的区域得出的,我们这里给出的数字对应于模拟恒星之间典型的间距(0.5 星等的区间之内)为

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                                                                                        A1

 

 

其中 N bin = 2225 是在 0.5 星等宽的区间内模拟恒星的数量。鉴于索菲的底片比例尺为 0.29 角秒·像素-1 ,以及典型的视宁度为 0.8 角秒,这意味着我们以约为点扩散函数半峰全宽的 3.5 倍的尺度对整个画面取样。这一有效取样尺度略大了一点,这是由于要使用一定数量的最近的近邻来计算每一颗模拟恒星位置处的局部完备度数值。自然的限制,也就是可以用我们的方法取样来确定完备度的最小长度,是点扩散函数本身的半峰全宽,它表征了区分两个不同的点源的能力。即使模拟恒星的数量增加得达到了空间取样小于点扩散函数的半峰全宽,不完备性图的分辨率也不能再进一步改进。我们选择的恒星总数是很短的取样尺度与合理的模拟次数之间的一种折中。

A2. 二维完备度图的构建

每一颗模拟的恒星均可以用 DAOPHOT 的点扩散函数拟合,它或者能重新获得,或者不能,这意味着对于那颗特定的恒星,完备度或者为 1 ,或者为 0 。由这一系列稀疏地取样得到的 0 1 着手,需要若干步才能得到平滑的函数,它是在画面中的每一个点处确定的。下面,我们将用戴帽的符号 ( ^x , ^y ) 表示模拟恒星的位置,而我们实际用于计算上述函数的坐标网格将是简单的 ( x , y ) ,它与芯片的像素网格对应。在这一节中,我们将仅仅针对单个星等区间和单个测光波段;星等维度的添加将在第 A3 节中处理。

第一步是在每一对 ( ^xi , ^yi ) 处对 i = 1 N bin 建立平均完备度数值。这将伴之以考虑一个定数 ν ,它是第 i 颗模拟恒星的最近的近邻数,而完备因子定义为

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                                                                                        A2

 

其中“重新获得的恒星数量”是在第 i 颗模拟恒星的 ν 颗近邻中进行计数,并且把它自己也包括在内,因此分母中有 1ν 的实际数值有点任意,并且必须满足两个对立的要求;它的数值越大,完备度数值受到的统计噪声的影响就越小。相反,它的数值太大,将意味着我们的完备度图的空间分辨率的损失。如第 A1 节中所提到的,有效取样尺度不是第 A1 式中的〈d〉,而是更精密地为

 

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在若干次实验以后,我们决定使用 ν = 16,这使得我们的完备度取样尺度扩大了 4 倍,给出 d eff 43.2 像素,对应于点扩散函数图像,约为半峰全宽的 14 倍。

在这一阶段,C0 是在模拟恒星所占有的那组 ( ^x , ^y ) 位置中唯一逐点已知的。下一步是把这一函数内插到一个规则的点的网格。这是靠 IDL 程序 GRIDDATA 完成的,其中使用了克里格插值方法,这种方法的变量变化采用一种按指数减小的模型。克里格方法允许把一个随机场由已知的位置在某些关于它的协方差的假定下内插到另一组位置。就我们的情况来说,这个随机场就是完备度本身,它具有由于在第 A2 式中考虑的模拟恒星数量有限而产生的泊松误差。对协方差使用指数模型在这里是合适的,因为 C0 在某一位置 ( ^xi , ^yi ) 的估值与其他恒星的这一估值是相关的,而且与那些间隔很大距离时的情况相比,离开模拟恒星越近,相关性就越强。我们选择以 e 为底的尺度,令它等于 d eff

在内插以后,我们完成完备度的平滑化。的确,为内插而使用的网格比 d eff 更精细,这意味着这一内插函数也许会给出尺度比最小的大小更小的虚假变化,从而造成失真。这就是为什么我们要另外用一个大小为 d eff 的矩形核函数来对图进行平滑。鉴于模拟恒星的空间分布是均匀的,这样的矩形模型是合适的。

A3. 星等的内插

一旦完备度图在星等的层面上可以利用,我们就在每一位置 (x, y) ,使得完备度为星等的递减函数。我们逐个像素地用一个类似费米型的单调递减函数拟合:

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A3

 

 

其中的三个系数的意义如下:

iα 是归一化因子,并始终 1

iiβ 是完备度为 α /2 的星等。

iiiγ 表示 C j 下降的迅速程度。

一旦 (α, β, γ ) 这三个系数被算出,就可以使用在每一颗真实的恒星位置估算的系数直接给这些恒星的完备度赋值。

A4. 控制星场的完备度

我们用来给颜色星等图消除场星污染的偏离星团的星场也受到不完备性的影响。不过,在这种情况下,就不必再对完备度变化的二维结构进行研究;假定控制星场中恒星的空间分布是均匀的,我们就只需要考虑空间均匀的不完备性改正。

在使用控制星场来消除星团的颜色星等图的污染时,一个隐含的假定是,这些恒星平均来说代表了星团天区内的前景和背景的恒星群体。这一假定有一系列缺点。例如,星数众多的星团本身也许会部分地“屏蔽”背景恒星。此外,在银道面中,可变的消光也许会引起观测到的恒星群体存在差别。更进一步,沿不同的视线方向的恒星群体,由于在相同的日心距离处取样时的银心距不同,或者由于旋臂内的变化,可能会存在固有的差别。后两个问题可以通过选取邻近的星场来予以减小,使得前景和背景的恒星群体在年龄和消光方面——因此在星等和颜色上——显示出与沿星团视线方向类似的分布。因此,控制星场的选取是为了能有一个平均来说看上去与星团画面中起着污染作用的恒星群体类似的一个恒星群体。

出于这些原因,为了给偏离星团的画面内的恒星赋予完备度数值,不必再试着作相同的二维处理。我们只需以均匀的方式在整个画面内每 0.5 星等宽的区间内布下 250 颗恒星;每次运行只增加 50 颗恒星,不至于改变这个星场内的拥挤的程度。于是,我们计算重新获得的恒星占模拟恒星总数的比例,并用一个类似第 A3 式那样的函数进行拟合,这一次不再需要有任何的空间依赖性。最后一步是把控制星场的每一颗恒星赋予它们对应的每一测光波段的完备度数值。

附录B:测光误差和它们的相关性的估算

在文 I 中,我们使用模拟恒星来估计测光误差。我们指出,对于已知输入星等的恒星,输出星等常常相差超过 1σ ,其中σ 的数值取为 DAOPHOT 的拟合误差。因此输入星等和输出星等之间的差值看来是真实测光误差的更保守和稳健的估计。这里还使用模拟恒星来估计星等误差之间的相关性。在两个不同的波段,与一颗孤立的恒星有关的光子计数是不相关的。但事实上,即使这两次光子计数相互独立,推断的星等数值也许并非如此。造成 J KS 星等误差相关的原因,是由于亮星的存在,挥着更一般地说,是由于恒星的密集。当一颗暗星位于一颗亮星附近时,亮星(通常在两个波段都是属于亮星)的点扩散函数拟合过程的残差,也许会导致两个波段都产生星等的误差。如果这颗亮星的外围部分没有很好地减除,那么附近的暗星就将会多出一个额外的流量。亮星的外围部分也有可能会被减除过量(例如因为核心部分没有很好拟合),从而导致流量估计过小。这就可能会导致测光误差的相关性。两颗星等相差不多的恒星的密集,,也将会导致类似的情况发生。

 

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B1.  左图:模拟恒星 J KS 星等误差之间的相关性。右图:同左图,但使用 (J KS) 颜色代替了 J 星等。量 r 是两个样本的皮尔森相关系数。

 

B 1 表明了 J KS 星等误差的相关性。在左图中,我们给出了模拟恒星的 J out J in KS, out - KS, in 之间的关系。在右图中,我们给出了 (J KS)out (J KS)in KS, out - KS, in 之间的关系。因为两种星等的估计是相关的,所以由它们组成的量 J KS 对于单一的星等数值也是相关的。图中的系数 r 是整个模拟恒星样本的皮尔森相关系数,即

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B1

 

 

其中 X Y 是两幅图中相应的横坐标和纵坐标。根据上述定义,显而易见,皮尔森的 r 等价于 X Y 的协方差除以 X Y 的标准差的乘积。r 的数值非常接近 1(或 1),表明两个随机变量之间的相关(或反相关)非常紧密,而两个完全不相关的随机变量将给出 r = 0 的数值。图 B1 中的皮尔森系数的数值表明星等误差有十分显著的相关性,而星等误差和颜色误差之间则有甚至更紧密的反相关性。鉴于 r 不是一个稳健的、能够对抗野值的量,实际的数值计算的时候要剔除野值,也就是至少有一个波段的输入星等和输出星等相差超过 1 星等的恒星。在这一界限内的恒星数量占了模拟恒星总数的 97% 。因此,野值的剔除并不代表样本的总体相关系数的稳健估计的估算总存在缺陷。

B1. 给每一颗被检测恒星赋予适当的测光误差和它们的相关性

对于每一颗被检测恒星,我们在它的位置附近选择至少七颗模拟恒星(使用与第 A1 节中相同的恒星)。我们说的附近,指的是离开真实恒星位置的距离不大于 50 像素、而且星等——每一波段——与真实恒星的星等相差不超过 1 星等的模拟恒星。50 像素的距离是亮星的平均影响半径,也就是它们的光晕典型的扩展范围,由分析新技术望远镜上索菲仪器拍摄的 Wd 1 的图像得出。对于上述子样本中的每一颗近邻恒星,我们计算 J out J in K out K in 。在这一子样本中,上述两个量的标准差被用作真实恒星的测光误差的估计。我们还计算了这一子样本中两个量之间的皮尔森系数,并把它赋予被检测恒星。图 B2 给出了对于 Wd 1 DAOPHOT 得出的误差与我们新估计的误差之间的比较。新的误差估计平均来说比由 DAOPHOT 推测的误差大,尤其是 KS 波段更是如此。

 

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B2.  Wd 1 的星场中 J 波段(左图)和 KS 波段(右图)DAOPHOT 测光误差与我们新得出的误差之间的比较。虚线为新的误差与 DAOPHOT 的误差之间 1 : 1 2 : 1 3 : 1 比例关系。

 

某些真实的恒星没有足够数量的近邻恒星来构成上述那样的估计。对于一些暗星尤其是这样,因为大部分星等最暗的模拟恒星不能重新获得。 因此,由于这些模拟恒星没有 M out 数值,也就没有上述那样的误差估计可以利用。对于没有足够数量的近邻模拟恒星可以使用的恒星,我们使用一种不同的误差估计。我们首先把误差测定在若干个星等区间内作得很好的真实恒星划分出来。然后,我们计算每一星等区间的平均误差,并把一个指数关系式拟合到平均误差与区间星等之间的关系。这一关系式被用来给那些缺少足够数量近邻模拟恒星的恒星赋予它们的误差。新的误差,作为星等的函数,在图 3 中给出。这幅图表明了用于确定最暗的那些恒星的误差的指数外推关系。与星团星场中的恒星的新误差一起,我们以红色表示控制星场中恒星的新的误差,它们由第 B2 节中所述的方法得出。

B2. 控制星场的测光误差

类似的方法被用于得出控制星场恒星的新的测光误差。因为我们假定这些恒星均匀分布,所以没有必要处理这些误差的空间变化。我们使用与第 A4 节中相同的模拟恒星计算 ΔM j (i) = M jout (i) - M jin (i) ,其中 M j = JKS ,而 i 遍及所有模拟恒星;然后我们把这些恒星按 0.5 星等宽度的区间分组(用输入星等),并且对于每一组,我们计算组内所有 ΔM j 的标准差。最后一步是用一个指数关系式拟合这些数据点(σ [ΔM j]M j[bin]);这里 M j[bin] 是每个组的中心星等。这一关系式被用于给真实的恒星赋予误差,它是星等的函数。J KS 之间相关系数的平均值,对于整个样本,计算得到为 r = 0.25 。这个数值被赋予控制星场内的每一颗恒星。

3 表明,平均来说,控制星场的测光误差比星团星场中的小。这种情况在意料之中,并且可以解释为 Wd 1 的星场具有更高的密集程度。出于同样的理由,控制星场的检测极限与 Wd 1 的相比,两个测光波段都暗了 ~ 0.5 星等。

附录 C σ 修剪

因为对准星团的星场于偏离星团的星场前景和背景的恒星群体相互之间有某些不相似之处,Wd 1 的颜色星等图,即使在作了减除之后,仍不是理想地纯净的。出于这一原因,在选取了最佳拟合等龄线即 400 万年的等龄线之后,在作任何进一步的分析之前,我们另外还去除了那些在双星等空间(见第 5 节末尾)内偏离参照的等龄线超过 3σ 的恒星。在修剪以后,基本上所有颜色和星等符合 400 万年的星团的恒星群体的恒星都被包括在了最终的源的选样中。我们的修剪判据也许保留了某种任意性;然而,它们并不影响我们的进一步分析。主要的原因是这种修剪只影响暗星,这些暗星具有很大的测光误差。它们之中的某一些当 σ 阈值略有改变就可能被排除在星表之外或者纳入到星表之中。无论如何,在计算初始质量函数(见第 8 节)和恒星密度(见第 9 节)的时候,我们只考虑给定的完备度质量阈值以上的恒星。成员性不确定的恒星通过这样两次额外的剪除大多数已被排除;因此,他们不会影响最后的结果。

 

C1. 星团画面和场星画面中的检测结果。

 

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5 给出了这种纯净的星团颜色星等图的一个实例,一起还画出了最佳拟合的等龄线。图中画出的误差棒是每一个星等区间的 J KS  KS 平均误差。每颗恒星的颜色误差计算如下:

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C1

 

 

皮尔森的 r 等于由两个标准差的积得出的协方差(见第 B1 式);因此,第 C1 式右侧的第三个加数等于 J KS 的协方差的两倍。

在表 C1 中,我们汇总了在减除场星并作了额外的修剪后留下的恒星数量。平均值以及它们的不确度通过按概率减除方法的迭代得出。我们对每一颗恒星重复提取 ζ ,产生 100 个不同的星表(见第 5 节)。然后我们计算这 100 个样本中成员星数量的平均值和标准差。

 

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D1. 用我们的自举方法得出的 ( γ A) 出现的密度。黑色圆斑表示二维密度最大值的位置:( γ max2D ,  Amax2D ) = (2.46 , 1.31×104 )。点线是在拟合区间内恒星数量为常数的线;由下到上为 N fit = 100012501500 1750

 

附录 D 初始质量函数参数及其误差的自举估计

自举是一种重新取样的误差估计方法例如见 Efron 1979HastieTibshirani Friedman 2009Andrae 2010)。在给出了一组用于估计某些参数的数据以后,自举就是对这些数据重新取样,建立起一些可供替代的数据集合。根据这些数据集合,就能够重复估计所感兴趣的参数,监测它们的分布。我们产生了 105 个自举样本,假定初始质量函数的函数形式为 dN(m)/dm = A×mγ ,对参数空间 ( γ A ) 进行探测。我们由我们的数据建立了成员星表的 100 个不同的实现。每个星表,在作了场星的统计减除和 σ 修剪(见附录 C)以后,具有略为不同的成员星数 N c , j ,其中 j = 1 100 。由每一个星表中的成员星,建立 1000 个自举样本。这些新的样本具有与成员星表中相同的星数 N c , j ,但抽取时作了替代,即在自举样本中同一颗恒星可以出现多次。这一恒星样本然后用于按第 4 式建立初始质量函数,其中的 i 现在是按特定的自举样本中的恒星运行。每一次迭代,就完成一次幂律拟合,得到一对 ( γ j , k , A j , k ) ,其中 j = 1 100 ,而 k = 1 1000 。如第 8.2 节中已经详述的,拟合区间限制为 m [3.5, 27] M。给出了 ( γ j , k , A j , k ) 的数值,我们就可以通过在区间 m [0.08, 120] M内对这一幂律积分,得到对应的总质 M j , k 和恒星总数 N j , k

 

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D2. 从左到右:γ A 的边缘分布以及 M j , k N j , k 的分布。最佳值用点线标出;置信区间用虚线标出。

 

D1 给出了输出数值 ( γ A ) 的二维密度图。显然,γ A 这两个参数是紧密相关的。这很容易理解。对于每一个自举样本,我们具有的星数为 N fit ,它是实际在拟合区间内的星数。对于星表的不同实现,这个数字可以略有不同,但大多数在区间 [1250, 1500] 内。初始质量函数拟合满足条件

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由此我们得到

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这一 A γ 之间的关系,对于 N fit = 100012501500 1750 ,被重叠画在图 D1 中(点线)。鉴于  ( γ A ) 数队的二维分布显然是非高斯的,这两个参数的最佳值和置信区间的确定不是直截了当的。 这个二维分布的最大值位于 ( γ max2D , Amax2D ) = (2.46, 1.31×104)。采用这一对数值,我们得到总质量 Mmax2D = 5.13×104 M,而总星数 Nmax2D = 1.10×105

 

D1.  Wd 1 的初始质量函数参数以及总质量和总星数的最佳值和它们的置信区间。

 

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相反,使用二维联合分布,对于参数 ( γ , A ) 的最佳值和置信区间以及 M tot N tot 的确定来说,不是最合适的选择。为此,就 γ A 的情况而言,我们使用边缘分布。这些边缘分布由联合分布相对于另一变量积分而得。类似地,对于 M tot N tot ,我们使用每次自举迭代后得到的 M j , k N j , k 的分布。最佳值由分布的最大值得到。置信区间由分布从左和从右积分直到每一侧分布下方的总面积达到 16% 来得到。这意味着不对称的置信区间的两个界限在分布函数下方包含了 68% 的总面积。图 D2 给出了 γ A 的边缘分布以及 M j , k N j , k 的分布。表 D1 给出了最佳值和置信区间。


(原文中的致谢和引用的参考文献目录从略,需要者请检索原文。译文仅供学习交流,严禁出版和商业使用。)

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