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星海微萤

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日志

 
 

阋神星掩星的观测(Gulbis 2011,Sicardy 等人 2011)(下)  

2011-11-16 21:02:59|  分类: 外论选译 |  标签: |举报 |字号 订阅

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补充资料

1  预测和观测

本文中分析的被掩恒星是在对 2008 年到 2015 年间将有可能被冥王星和其他几颗大的海外天体掩食的恒星进行搜索期间发现的,这一观测项目正在欧洲南方天文台 2.2 米望远镜上实施 [15] 。它显示,一颗 V ~ 17.1R ~ 16.9 的恒星 NOMAD1 0856-0015072 在世界时 2010 11 6 日夜晚 2 20 分左右有可能被阋神星掩食。最初确定的可能的能见地区包括西欧和非洲,以及北美和南美(见www.lesia.obspm.fr//perso/bruno-sicardy/predic_ occn_10/Eris_2010)。这是预测在 2010 年发生的唯一的一次这样的掩星。其实,阋神星掩星是很罕见的,因为这颗矮行星现正在远离银道面的鲸鱼座中恒星稀少的天区运动(在我们的 2013 年之前的这类掩星的名单中,没有一次再涉及阋神星)。

在欧洲南方天文台 2.2 米望远镜上作的测量(方法参看参考文献 [15] ),按照UCAC2参考架给出了如下的这颗恒星的国际天球参考架(大致而言 J2000)位置:

 

阋神星掩星的观测(Gulbis 2011,Sicardy 等人 2011)(下) - wangjj586 - 星海微萤

                                                                                                                 

 

 

   1

 

 

 

其中赤经和赤纬的 1σ 误差均约为 50 毫角秒(mas)。

 

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1S  阋神星观测活动。图中标出了在表 1S 和表 2S 中列出的站点,其中绿色是检测到掩星的站点,蓝色是作了观测但没有观测到掩星的站点,红色是有云的站点。三条平行的点线绘出的是掩星发生前约 24 小时作出的最后预测(阋神星阴影的北界线、中心线和南界线),假设这颗矮行星的半径为 1500 千米。带点的实线是按如图 2 所示的解得到的阋神星阴影中心的实际路径,每分钟绘一个点(参考点见图中标出的世界时 2010 11 6 2 20 分的点),而箭头显示阴影中心在地球上的运动方向。其他两条平行的较细实线是阴影的北界线和南界线,再次使用图 2 中的解(半径 1,163 千米)绘出。

 

为了进行预测和组织观测活动,从 2010 10 18 日起,根据在卡拉尔山、布列克山、迪亚斯峰和桌山拍摄的图像更新天体测量数据。只有在 2010 11 1 日以后,阋神星相对于上述恒星的位置才准确得足以清楚地表明这次掩星将在南美洲、可能还有北非和南欧可以见到。

 

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2S  恒星相对于阋神星和阋卫一的运动。斜线:从上至下分别为在阿塔卡马的圣佩德罗、拉西亚和 CASLEO 所见的被掩恒星相对于阋神星的轨迹。对应的开始和结束时间在表 1S 中给出。箭头表明恒星运动的方向。空心十字:由我们的恒星参考位置(第 1 式)和 JPL28 星历表得出的阋神星预期位置。黑色的圆:对掩星弦的圆拟合,见图 2 。十字与圆之间的位移是阋神星相对于 JPL28 的偏离,分别为赤经方向 +211±50 毫角秒和赤纬方向 -56±50 毫角秒,见表 3S 。红色(或蓝色)的点:按照阋卫一轨道 [12] 的第 1 轨道(或第 2 轨道)取向阋卫一在世界时 02:202010 11 6 日)的预期位置。这些点使用符合阋卫一观测结果的各种不同可能的轨道解产生。点的弥散展现了在掩星时刻阋卫一位置的不确性。比例尺和方向在右下角给出。

 

最终有 26 个台站参与了我们的活动,其中大多数是阴天,或者在掩食带之外,还有的既是阴天又在掩食带之外(图 1S)。这次掩星是从智利的两个地点检测到的,其中一地是阿塔卡马的圣佩德罗(简称圣佩德罗),使用两架望远镜(0.5 米的哈林登望远镜和 0.4 米的南半球第 2 天体照相仪),另一地是欧洲南方天文台所在的拉西亚,使用新的 0.6 米凌星行星和星子小望远镜 [27](简称特拉普望远镜)。在阿根廷的第三个台站(利昂西多天文综合机构,缩写为 CASLEO,使用 2.15 米豪尔赫·萨阿德望远镜)足够接近掩食带的边缘(~ 200 千米,参见图 2 1S),并具有足够的信噪比,为可能存在的阋神星的大气层确定上边界的位置。表 1S 给出了这里分析的观测结果的详细情况,而表 2S 列出了在这次活动期间我们作出的所有其他努力。

2S 表明了这次掩星的一般的几何状况。在我们分析的光变曲线中,除了在圣佩德罗和拉西亚检测到阋神星的掩星(见下文)之外,没有检测到任何其他的事件。请注意阋卫一的预测位置远离扫过阋神星附近的恒星轨迹(图 2S)。

2  数据分析

为了使光子流量尽可能大,这里所示的所有数据都是用宽带(未加滤光片的)CCD 图像得到的。每一架望远镜使用的照相机型号在图 1 的说明文字中给出。在做了经典的暗流减除和平场之后,用孔径测光得出恒星流量随时间的变化。哈林登使用的孔径是大小为 4×4 像素的正方形,而南半球第 2 天体照相仪、特拉普望远镜和豪尔赫·萨阿德望远镜分别使用直径为 4 5 6 像素的圆形孔径。估计了每颗恒星附近的背景流量,并予以减除,使得与天空背景对应的流量为零。这一校准表明,在掩星期间恒星完全消失,降到了噪声水平。一颗离得很近的参考星(NOMAD1 0856-0015078),比目标星亮大致两个星等,用来改正拉西亚和 CASLEO 天空透明度的低频变化对恒星流量的影响。在圣佩德罗由于天气一直很好(目标高度 ~ 68 度),不必作这一改正。通过进一步除以未掩时的恒星加上阋神星的流量,这一流量由在掩食前和掩食后的几分钟时段内取平均而得,最终给出图 1 和图 3S 中给出的归一化光变曲线。流量统计得出信号的标准差,由它确定了每一数据点的 1­σ 误差范围,后者被用于把衍射模型拟合到恒星的消失和再现,请见下文。

 

 补充表 1S 得到本文所用数据的几处观测的情况

 

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(a) 这里列出的所有观测都是用快速宽带可见光 CCD 作的,见图 1

(b) 每一个数据点的恒星加上阋神星的流量与均方根噪声之比。

(c) 所有误差都是 1σ 水平。

(d) (e) 即分别为正文所述的恒星在圣佩德罗再现的第 1 解和第 2 解,见正文和图 3S

 

每一幅图像的世界时时间取自该幅图像的标头。不过,对于检测到掩星的三个站点(哈林登望远镜、南半球第 2 天体照相仪和特拉普望远镜),由于这三个站点使用的 MaximDL 软件提供的格式作了舍入,只有秒的整数部分可以利用。为了恢复每幅图像正确的计时,我们把一个线性模型拟合到点集(i, t h, i),其中 i 是图像编号,而 t h, i 是写在标头的对应的时间。在掩星发生前后每隔几分钟的时间间隔里那些拟合的残差,呈现出一种规则的锯齿图案,限制在 -0.5 秒和 +0.5 秒之间。这样,(1)证实了确实存在舍入到秒的整数部分这个问题,(2)表明了数据采集循环是规则的。为了得到每幅图像曝光中点的时间,我们最后加上了拟合的残差。

这些线性拟合的内部准确度保证了每幅图像的绝对时间能够恢复到好于 0.05 秒。此外,圣佩德罗和拉西亚使用的计算机被设定为至少每 15 分钟对一次世界时,这一对时使用的是一种时间服务器和“第 4 维”同步软件,以确保所有计算机上绝对时间的准确度好于 0.05 秒。总而言之,与每一幅图像有关的时间,绝对准确度均为 0.07 秒左右,对应于沿着阋神星的阴影轨迹 ±2 千米的准确度,这样的误差,与跟下面所述的模型拟合有关的误差相比,可以忽略不计。

 

补充表 2S  其他站点的观测情况

 

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3  掩星计时

恒星消失和重现的时间,是把一个陡边阴影模型用菲涅耳衍射、投影在阋神星上的恒星直径 [28] CCD 的有限带宽以及仪器 [29] 的有限积分时间卷积后,拟合到光变曲线得到的。最后合成的光变曲线主要受有限的积分时间影响,因此所有数据的积分时间都在 3 秒以上,请参阅表 1S 。在拉西亚(或圣佩德罗),与此对应的垂直于阋神星边缘的距离约为 30 千米(或 75 千米),而菲涅耳尺度约为 2 千米,而且投影在阋神星上的恒星直径约为 0.7 千米。拟合的自由参数是恒星消失和再现的时间 tOCC ,即在几何光学的体系中一个点源被一锐边所掩的极限情况下掩星发生的时间。拟合过程寻求如下的最小值 χ2min

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2

 

 

其中 ­Φi,obs(或 Φ­i,cal)是观测得到的(或计算得到的)在第 i 点的流量,σi 是在这一点的 1σ 误差,按更前面说明的方法估计,而 N 是所考虑的点的总数。 tocc 1σ 误差由改变 tocc 使得 χ2 从最佳值 χ2min 增大到 χ2min + 1 来估计。

最佳拟合如图 3S 中所示,对应的掩星时间列在表 1S 3S 中。当调整圣佩德罗哈林登望远镜的恒星再现时间时,可以得到两种同样令人满意的拟合(按时间顺序称为第 1 解和第 2 解)。这是因为它出现在相机两次曝光之间 0.88 秒的间隔之一附近(表 1S)。因此,χ2 残差在间隔 1.2 秒的两个tocc 数值处呈现为两个局部的最小值,对应于两种相差 32 千米的弦长,请参看图 3S 和表 3S

4  掩星的几何参数和阋神星的大小

3S 中给出的掩星时间提供了恒星相对于阋神星并投影到天空平面中的位置 (f, g) ,其中 f 是赤经方向的相对位置,如果恒星在阋神星之东则为正,而 g 是赤纬方向的相对位置,如果恒星在阋神星之北则为正。量 f g 以千米表达。为作这一计算,我们使用 JPL28 的阋神星地心星历表(见参考文献 [30] http://ssd.jpl.nasa.gov/),并对每一站点的视差影响做了改正。请注意,圣佩德罗的南半球第 2 天体照相仪所获得的数据,由于与哈林登望远镜(积分时间 3 秒)相比,积分时间较长(15 秒)和信噪比较低,不能给掩星长度带来进一步的制约。虽然它们证实了掩星的发生,但没有包括在下面的分析中。因此,我们最终得到掩星的两个线段(或者说“弦”)的四个端点,它们是由圣佩德罗的哈林登望远镜和拉西亚的特拉普望远镜的计时数据得出的,请见图 2 中的红色线段。

这里考虑的投影在天空平面中的最一般的边缘形状是一个椭圆,半轴 a′ ­> b′­ ,视扁度 ε′ = (a­′ - b′ )/a­′ 。在角动量很小的情况下,这一形状是由半轴 a = b > c 的扁圆形麦克劳林椭球投影产生的,其中 a c 分别是赤道半径和极半径。于是,这个天体的真扁度 ε = (a - c)/a ,而且,当 ε 的值很小时,它与视扁度之间的关系为 [31] ε′ ~ ε · sin2( ζ ) ,其中 ζ 是自转轴 c 轴与视线之间的夹角(ζ = 0 对应于以极朝向观测者的几何状态)。 在这种情况下,我们假定这个椭球以赤道朝向观测者(因此它的真扁度为 ε = ε), 请记住,更一般地见到的几何状态将得出真扁度 ε > ε 在角动量很大的状况下,由拉长的三轴雅可比椭球所导致的形状,其半轴有 a > b > c 在这种情况下,因为没有观测到这颗矮行星有大于 1 % 的亮度变化 [13,14] 所以这个椭球必定是以几乎以极朝向观测者的状态观测到的。 我们最后定义阋神星的有效半径 RE 为与真实天体具有相同视表面积的圆盘的半径, 因此 RE =­ (- b)1/2

 

补充表 3S  掩星弦的拟合 (a)

 

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 (a) 圣佩德罗 0.4 米南半球第 2 天体照相仪的计时结果为包含在拟合中,因为这些结果误差较大,不能给那一地点的掩星长度提供进一步的制约(表 1S 和图 3S)。

(b) 1S 中的计时结果给出的恒星相对于预期的阋神星中心的位置,使用 DE405/JPL28 阋神星星历表(http://ssd.jpl.nasa.gov)。这一位置投影于天空平面,以千米计,其中 f 是赤经方向相对位置,恒星在阋神星中心以东为正,而 g 是赤纬方向相对位置,以恒星在阋神星中心以北为正。我们使用第 1 式中给出的国际天球参考架 J2000 恒星位置。

(c) 所考虑地点的阋神星阴影速度,垂直于观测者到阋神星的连线(等价于阋神星相对于恒星的速度,投影于天空平面)。相对于阴影边缘(假定为圆形)的径向速度,在拉西亚和圣佩德罗分别为 9.7 千米每秒和 24.4 千米每秒。

(d) 这一中心对应于为与掩星弦相符合而应用于阋神星的偏离(见图 2 中的十字)。这一偏离相对于 DE405/JPL28 阋神星星历表,但也与第 1 式中给出的所采用的恒星位置有关。

(e) 每自由度的最小 χ2 数值,见正文。

(f) 定义为四个径向残差的均方根。

(g) 阋神星和恒星在天空平面中最接近的时间,从地心所见。

(h) 阋神星中心与恒星在天空平面中最接近时的距离,从地心所见。可以使用阋神星在掩星期间与观测者的距离 95.738 天文单位(对应于比例尺每毫角秒 69.436 千米)变换成毫角秒。在最接近时,阋神星相对于恒星的方位角,在 J2000 参考架中,为 167.57 度,从地心所见。

(i) 这两个数值是从上面给出的 fc gc 的数值得出的。误差主要是恒星位置的不确度(±50 毫角秒),而不是对掩星弦的圆拟合的误差。

 

在我们的问题中,自由参数数目 M = 5 :视半长轴 a,视扁度 ­­ε′ = (a­′ - b­­′ )/ ­­′ ,这个椭圆在天空中的取向(半短轴的方位角 P ,由该处北天极方向向东计量),以及它的中心的两个坐标 fc gc 。请注意,只需考虑 0 ≤ P ≤ 180 度就已经足够,因为由于对称,P 的其他数值得出的解是相同的。

我们通过求最小值 χ2min 来拟合弦的 N = 4 个端点:

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 3

 

 

其中,( fi,obs , gi,obs ) 是弦的端点的坐标,而σi,r 是对应的径向不确度,由掩星时间的 1σ 不确度乘以垂直于阋神星边缘的局部恒星速度得到。RE 1σ 误差通过探试 RE 的数值(其他参数保持自由)使得 χ2 χ2min 变为 χ2min + 1 而得。最佳拟合的每自由度 χ2 χ2pdf(见表 3S)由 χ2pdf = χ2min /(N - M) 给出。对于 N = 4 个弦的端点,以及 M = 5 个自由参数,有无限多个可能的解,而 χ2pdf 是不定的。为了得到优先的解,我们必须依靠在一些独立的观测和物理的论证。

 

 

 

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3S  把衍射模型拟合到掩星的光变曲线。黑色圆斑:掩星数据表 1S 中提到的站点得到的掩星数据点(其中的恒星加阋神星流量已经归一化)。 南半球第 2 望远镜和特拉普望远镜的数据,为便于观看,分别垂直移动了 +1.3 -1.3 。南半球第 2 望远镜的数据点上的水平线段表明对应于每一点的采集时段长度。 哈林登望远镜和特拉普望远镜的数据点,这些线段几乎与圆斑一样大,因此在图中看不到。请注意,所有的数据集都存在“死区时间”,即没有采集任何数据的时段,见表 1S 。在南半球第 2 望远镜和特拉普望远镜的光变曲线下方的虚线,给出了阋神星流量在总流量中占的比例(分别为 0.216 0.104),通过在掩食后当夜以相同的仪器设置和大气质量对照测量被掩恒星与邻近的参考星确定。红色曲线:平方完好模型对数据的最佳拟合(按几何光学来说即对应于阋神星的阴影边缘)。在圣佩德罗,恒星再现时,获得了两个同样令人满意的拟合结果(从左至右,分别为所谓的第 1 解和第 2 解,见正文)。蓝色圆圈:由红色模型得出的预期流量,对应于每个观测数据点,已经考虑了衍射、恒星直径、有限带宽和有限采集时段。对于哈林登望远镜,第 1 解和第 2 解所得的蓝色圆圈均一并绘出,但按这里使用的比例尺,它们几乎没有区别。蓝色曲线由蓝色圆圈连接而成。

 

4.1  圆拟合

我们首先注意到,在图 2 中,两段掩星弦几乎有相同的垂直平分线,也就是通过这两条线段中点并且垂直于它们的直线,即图 2 中的蓝色直线。更精确地说,这两条垂直平分线,对于第 1 解,间距为 21 千米,而对于第 2 解,间距则为 5 千米。因此,在我们的误差范围内,尤其是对于第 2 解,可以用一个圆拟合这两段弦。

这一结果强烈地表明,阋神星的确接近球形,除非如后面所讨论的,呈现某种非常特殊的几何形状。圆拟合具有 M = 3 个自由参数(RE = a′ = bfc gc ),因此 N M =1,而且 χ2pdf = χ2min 。表 3S 给出了分别使用第 1 解和第 2 解得到的对应于最佳拟合的 REfc gc 的数值。请注意,由于在使用第 1 解的情况下 χ2pdf 数值较大,我们没有给出误差范围,因为在这种情况下圆边缘的假定不再成立,见正文。对于第 2 解,我们得到对弦的四个端点最佳圆拟合半径为 RE = 1,163±6 千米。阋神星中心的位置(fc , gc)对应于为拟合两段掩星弦而应用于阋神星星历表的偏差(图 2)。请注意,因为我们实际上相对于某一给定时刻的恒星来确定阋神星的位置,而这一偏差依赖于:(1)采用的星历表(这里是DE405/JPL28);(2)采用的恒星位置(第 1 式)。 因此,如果不是使用 JPL28 的星历表,或者不是这里给出的恒星位置,或者星历表和恒星位置两者均不同,那么这一偏差就应该要作相应的改正,把星历表和恒星位置之间的两个差值都考虑在内。

使用第 1 式中的恒星位置和 DE405/JPL28 星历表,我们得到的阋神星赤经方向和赤纬方向的偏差分别为 212±50 毫角秒和 -56±50 毫角秒,其中的误差主要是恒星位置的不确度。另外,人们可以利用在天空平面中阋神星与恒星的地心位置最接近(C/A)的时间和距离来计算这两个偏差数值(见表 3S),只要恒星的位置和参考星历表给定,已知在此最接近时间从地心所见阋神星相对于恒星的方位角为 167.57 度。

4.2  地形特征

像阋神星这样大小的由致密的冰组成的天体,从整体来看即使是球形,然而仍可能会有小的凹凸,这种凹凸的最大幅度通常 < ~ ±5 千米 [32] 。它们可能会使边缘产生随机分布的局部径向变形,从而改变掩星弦长度,并最终改变所得到的阋神星的半径。不过,对于阋神星的情况来说,±5 千米的起伏很可能太高了。首先,阋神星内部密度为 2.5 克每立方厘米(参看正文),是冰的密度的两倍多,导致表面重力比纯冰天体的大。其次,海外天体很低的热惯性 [25,26] ,表明了他们的表面热导率很低、多孔,是不大可能支撑住很大的起伏的。我们还注意到,其他的冰天体,例如像天王星卫星天卫三(半径 789 千米),局部的地形特征最高仅 2 千米(见魏德曼等人 [29] 的讨论)。另一个很大的冰卫星海卫一(半径 1,353 千米),起伏甚至更小,幅度小于 ~ 0.5 千米 [33]

因此,我们认为阋神星表面的局部地形特征起伏幅度为 ±3 千米,是一个谨慎的最大值。生成对第 2 解所得弦的圆拟合,并允许残差最大为 3 千米,我们得到 RE 的值范围为 1,163±6 千米。这一误差估值与上面得到的形式误差估值 ±6 千米按平方合并,得出阋神星半径的最终误差为 ±9 千米,其中假定圆形边缘的起伏为 ±3 千米(可能高估)。

4.3  椭圆拟合

如前所述,我们可以把无限多个椭圆的边缘拟合两段掩星的弦。如果阋卫一的轨道位于阋神星的赤道平面内,那么边缘的取向是确定的,而且它的方位角 P 就可以定出,请参阅下一小节。如果情况不是这样的话,并且因为我们主要是对阋神星的有效半径感兴趣,那么我们希望至少要能对 RE 的数值估计一个合理的范围。

为了要这样做,我们用椭圆模型拟合两段掩星弦,其中 P a已经固定为规定的数值。于是,拟合的自由参数为 εfc gc ,每一个最佳拟合返回一个RE 的数值,并给出径向残差表明这一拟合的品质。我们在 0 度和 180 度之间以 1 度的步长改变 P ,而 a 1000 千米和 1800 千米之间以 10 千米的步长改变,首先使用第 1 解所得出的弦,然后再使用第 2 解所得出的弦。此外,我们只保留径向残差小于 4.2 千米的拟合,这一残差阈值是由可能的计时误差(对应于 ±3 千米左右,沿半径方向)与阋神星表面地形特征(幅度为 3 千米左右,见上文)的平方和得出的。

结果汇总在图 4S 中。所得到的 RE 的直方图在 1,165 千米附近达最大值,这是预料之中的,因为它与圆拟合得到的数值 1,163 千米很接近。当 RE 偏离这一数值时,分布迅速下降。这是因为拉长的边缘形状需要精细地调整 P ,才能通过弦的那些端点,从而导致出现的概率很低,见图 2 68.3 % 的概率出现在以这一分布的最大值为中心的附近(大致对应于正态分布中常见的 1σ 水平的误差),对应于区间 RE = 1,165±90 千米。

 

 

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4S  阋神星的可能的有效半径的分布。阴影区:使用椭圆边缘模型在很宽的范围内拟合得出的阋神星有效半径 RE 的直方图,或者说概率密度(任意单位),请参阅正文。直方图从右侧开始的积分即为 RE 小于给定的 R 值的概率 Pt (RE < R)(粗实线),标度见左侧。点线是 RE 与视扁率 ε之间的近似相关关系,标度见右侧。分布的中位数 Pt (RE < R) = 0.5,对应于 RE ~ 1,165 千米,与第 2 的圆拟合值 RE = 1,163 千米很接近。对应于几个 ε值的自转周期的近似值(见第 5 式)在点线近旁表明,见黑圆斑。

 

然而,我们注意到,在图 4S 中,当 RE 偏离 1,165 公里时,阋神星边缘的视扁率 ε迅速增加,在 RE ε之间有着很强的相关性。在区间 RE = 1,165±90 千米的边界,ε达到约 0.08,这意味着,正如在本节开头提到的,真扁率 ε ~ ε′/sin2(ζ ) 甚至更大。

我们可以假定天体处于流体静力平衡状态,从而把 ε 与天体自转频率 ω 联系起来。在低角动量情况下,相应的扁圆形麦克劳林椭球赤道半径和极半径分别为 a c ,它们必须满足下式 [34]

 

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   4

 

 

其中 G 是引力常数, M 是天体的质量,并且 cos (ψ) = c/a = 1- ε 。请注意,该公式假定天体是不可压缩的(密度均匀)。如果可压缩,事情就会变得复杂化,并且天体的自转周期会略有不同。对于小的扁率 ε ,第 4 式给出近似 ω2a3/GM ~ 4ε /5 ,得出自转周期:

 

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小时,                                                                                          5

 

 

其中取 a = 1,163 千米和 M = (1.66±0.02)×1022 千克 [12]

对于 ε > ε ~ 0.08,我们得到 T < 8.2 小时。换句话说,如果 RE 的数值在区间 1,165±90 千米以外,则需要阋神星具有快速自转。图 4S 中给出了与 ε的几个值相对应的自转周期(更确切地说,是自转周期的上限,因为 ε > ε)。它们表明,当 RE 偏离 1,165 千米时,要求自转周期迅速地减小,即阋神星必须自转得越来越快。

我们可以考虑更极端的情况。例如在图 2 中,我们可以通过考虑一个 b′/a = 0.771(以及 a′ = 1,708 千米,ε′ = 0.229)的拉得非常长的边缘来使我们的结果与 IRAM 的流量 [11](得出 RE = 1,500 千米)一致起来。这可以用快速的自转来实现,其中阋神星具有三轴的形状(雅可比椭球),三个半轴 a > b > c,它的一个轴朝向观测者,以避免因自转产生光变。比值 β = b/a = b′/a γ = c/a ω M 的关系为:

 

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7

 

 

 

其中,­Δ(β ­, γ , u) = [(1+ u)(­β 2 + u)(γ 2 + u)]1/2(例如见拉瑟尔达和杰维特的论文 [17] ,请注意他们的第 2 式中存在印刷错误,分母中的 Δ 这一项被遗漏)。一旦 β = b/a 给出,就可由第 6 式得出 γ ,然后就可以用它来使用第 7 式计算 ω 。在图 2 给出的例子中,我们有 β = 0.771 ,由此我们得到 γ = 0.506 ,于是得自转周期为 4.4 小时,即是一颗快速自转的星球。

在这种情况下,为了保持拟合的径向残差在 4.2 千米以下,这个天体的长轴应垂直于掩星弦,相差不超过 ±2 度,就如在本小节开始时所说明的那样。对于 P 0 度和 180 度之间随机分布的情形,发生这种情况的概率只有 ~ 2% 那么低。

此外,在这种情况下,为了避免自转引起的光变,阋神星必定是在很接近一个极朝向观测者的情况下进行观测的。这样一个天体的光变曲线的变幅,按星等计量,为 [35]

 

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其中我们重提一下,ζ 是自转轴 c 轴与视??线之间的夹角。根据观测所施加的条件,Δm < ~ 0.01 [13,14] ,并如上面所讨论的,取此情况下 β = 0.771γ = 0.506(也见图2),我们求得 ζ 应小于 18 度。对于自转轴随即曲线的情形,出现这种情况的概率也只有 5% 那么低。

总而言之,拉长的边缘形状不能被我们的观测排除,但在这种情况下需要天体快速自转,(周期小于 ~ 8 小时),并且在区间 RE = 1165±90 千米之外(图 4S)。此外,拉得非常长的天体,例如 RE ~ 1500 千米,需要同时精细地调整边缘和自转轴的取向,因此看来不大会出现。最后,我们注意到,如果最终检测到阋神星的光变曲线随自转变化,那么 ε 将由第 4 式或者第 6 式和第 7 式确定,而且可以用图 4S 来确定 RE 的取值。

4.4  阋卫一的制约

这颗卫星在 K′ 波段的亮度约为阋神星的 1/60 [36] ,在 V 波段则约为 1/480 [12] 。因此,这颗卫星的光谱与阋神星相差很大(而且十分偏红),表明了它的表面显著地更暗。

我们可以考虑一颗很暗的卫星,它的可见光反照率为 ~ 0.05,据此估计阋卫一质量的上限。于是,它的半径将是 RD ~ 240 千米(阋神星半径使用 RE ~ 1150 千米的估值),它的投影表面积将是阋神星的 ~ 4% ,它与阋神星的质量比将达到 ~ 0.01(假设这两颗天体具有相同的密度)。让我们首先假设阋卫一是在对阋神星的一次巨大撞击中形成的,然后被潮汐迁移到阋神星的赤道平面内,通过从阋神星的自转汲取轨道角动量,它从洛希极限(~ 2RE)到达目前的轨道(半长轴 37,400 千米,偏心率小于 0.01 ,周期 15.77 [12])。采用如上估计的最大质量,阋卫一可以使阋神星的自转速率从原始的自转周期 ~ 7.5 小时(在海外天体中观测到的典型的自转周期 [37])降到的到目前的 ~ 11.5 小时。

按照这个速率,阋神星的扁率,将是 ε′ ~ 0.041(第 5 式)。然而,因为阋卫一轨道的极(这在目前的情况下与阋神星的极重合)与视线之间的夹角接近 50 [12] ,所以在天空平面中阋神星边缘的视扁率将减小到约 0.024 。此外,阋神星的自转轴方位角的角度,于是为 P ~ 10 [12] 。使用这些值,我们可以把掩星弦与有效半径 RE = 1,143 千米拟合,小于由圆拟合得到的数值(RE = 1,163 千米)。

现在,如果我们假定阋卫一远比上述在极端情况下考虑的小,但仍然在阋神星的赤道平面内绕它公转,那么我们仍然必须固定 P ~ 10 度,但我们可以放宽 ε的条件。然后,我们使用第 1 解和第 2 解,得到有效半径 RE 1,105 千米到 1,155 千米的范围内,还是比圆拟合值小。

最后,如果阋卫一是被俘获的,而且向内迁移到它目前的轨道 [38] ,那么对阋神星的自转周期和极的取向就不能得出任何制约,而且我们就不得不回到在上一小节中给出的讨论。

4.5  与冥王星大小的比较

冥王星的半径已经使用多种不同方法作过估计,从直接成像到斑点干涉、冥王星与冥卫一相互事件(掩和食)以及掩星 [8]

这些方法都依赖于模型,而且依靠对一些必须独立推断的物理参数的假设。冥王星的半径,由于其角直径很小,仅约 0.1 角秒,因此不能采用直接成像准确地测量。冥王星的半径最早是在 20 世纪 80 年代晚期利用相互事件观测测定的,数值介于从 1,151±4 千米 [6] 1,178±23 千米 [7] 的范围,依赖于假设的冥卫一的轨道半径和冥王星的测光特性 [8]

冥王星的掩星不能达到无大气的天体通常可以达到的千米准确度水平,因为冥王星的大气会折射恒星的光线。其实,在掩星期间,星像变暗,但始终可见,尤其是一直没有被冥王星的不透明的边缘完全遮住。然而,把掩星结果与冥王星的大气模型相结合,可以估计半径值为 1,152±32 千米 [3] ,最近又改进为 1,180+20-10 千米 [5]

用高分辨率光谱仪获得了一些独立的结果,这些光谱提供了对冥王星大气中 CH4 积分柱密度和温度的制约,与掩星的结果结合在一起,得出的冥王星半径允许范围为 1,159 千米到 1,203 千米 [4]

由于这些数值是用不同的方法和假设获得的,它们是不能通过取平均来减少误差的。目前,我们只能有把握地说,冥王星的半径在 ~ 1,150 千米和 1,200 千米之间。因此,不能得出结论说阋神星比冥王星小还是大,直到后者的大小能被更精密地测定。

5  反照率

阋神星的几何反照率 p 与它的反射率 I/F 以及它的半径 RE 有关(现在假定它的边缘为圆形,而且 RE = 1,163±6 千米),它们之间有如下的关系:

 

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这里,(I/F)(α) 是阋神星在相位角为 α 时观测到的面亮度 I 与朗伯表面的面亮度 F 之比,其中 πF 就等于阋神星处相应波长的太阳流量密度,Φ(α) 是相位函数(按惯例 Φ(0) = 1),AUkm = 1.49598×108 是用千米表示的 1 天文单位,H 是太阳的视星等(在 1 天文单位处),而 HE 是阋神星的绝对星等,它被定义为假定天体在离开太阳 1 天文单位处并且在离开地球 1 天文单位处恰好冲(α = 0)时观测到的星等。在可见光波段,拉宾诺维茨等人 [39] 给出 HE,V = -1.116±0.009 。我们这里将分别使用在 V R 两个波段更新测定的数值,分别为 HE,V = -1.15+0.05-0.1 HE,R = -1.56+0.05-0.1 ,其中不对称的误差范围是分析一种可能存在的相反的影响得出的(见贝尔斯卡亚等人的论文 [40] 和贝尔斯卡亚的 2011 年的私人通信)。最后,使用 H,V = -26.74 H­,R = -27.10 ,我们得到:

 

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需要注意的是,误差主要是由为得到 HE,V HE,R 而作的测光的不确度、而不是 RE 的不确度造成的。还要注意从地球看阋神星的相位角 α ~ 0.15 度和 0.6 度之间变化,而上面给出的 HE,V HE,R 的值则按寻常的做法考虑了冲的影响 [40] 。如果阋神星在相位角小于 0.15 度时有很强的尖峰状的冲亮度(尚不知道是否如此),那么我们将获得比第 10 式中给出的更高的几何反照率。更一般地说,一篇关于海外天体和半人马型小行星测光特性的评论 [41] 实际上表明,一些最大的海外天体(阋神星、妊神星、鸟神星和冥王星)与较小的海外天体相比,相位斜率较为平缓,这可能与活跃(升华中的大气)的表面或碰撞历史有关,也可能与两者都有关。然而,对于海外天体,在缺乏非常小(< ~ 0.1 度)相位角数据的情况下,不能得出与尖峰状冲亮度激增有关的结论。一个例外是伐楼那,它在 α ~ 0.06 度到 0.1度时清楚地被观测到尖峰状增亮 [41]

这里得出的阋神星几何反照率可以与土卫二的目视几何反照率 pV ~ 1.4 以及土卫三的目视几何反照率 pV ~ 1.2 [20] 相比。然而,因为这些卫星当 α < ~ 0.2 度时呈现出超过 30% 的很强的尖峰状冲亮度激增,而且因为在此相位角取值范围内阋神星的测光特性尚属未知,所以我们可以代之以比较在同一相位角范围内它们的反射率 (I/F)(α) 。例如,阋神星在 α = 0.15度时在目视波段有 I/F ~ 0.91 [40] ,而土卫二在相同的条件下有 I/F ~ 1.2 [42] ,比阋神星大了约 30%

6  表面温度

我们现在使用上面得到的半径 RE 和几何反照率 pV ,与 70 微米和 1200 微米处的热流量在(分别由斯皮策 [22] IRAM [11] 测量),来制约阋神星的表面温度和整体测光特性。我们考虑两种极限情况:(1)缓慢自转(或等价地,以一极朝向观测者,或等价地,零热惯性),称为“标准热模型”(STM);(2)以赤道朝向观测者快速自转和纬度等温模型(ILM)。第一种模型给出的是“暖”平衡状态,其中只有阋神星被太阳照亮的一面是热的,而第二个模型得出的是“冷”的状态,其中的温度沿给定的纬度是恒定的(包括照亮面和未照亮面)。实际模型应处在这两种极端的情况之间。

 

补充表 4S  计算温度的公式

 

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在每种模型中,我们使用表 4S 中的式子计算标准热模型中的日下点温度 TSS 和纬度等温模型中的赤道温度 Teq 。在这个表中,角 θ 是当地的太阳天顶距(标准热模型),而 ? 是当地的纬度(纬度等温模型)。在表 4S 中,第一行中给出的当地温度 T 被代入第二行的积分中。这样,只要阋神星在频率 ν 处的流量密度 Sν 和地形距离 Δ 已经测得,并引进发射率 ε (不要与前面定义的扁率混淆),以及使用普朗克定律 Bν ,就得出了 TSS(标准热模型)和 Teq(纬度等温模型)(注意,对于 IRAM 的数据,Δ = 96.28 天文单位,而在斯皮策观测期间,Δ = 96.41 天文单位)。在计算中,我们忽略了阋卫一的总热流量的影响,因为如上文,它的投影面积大概连阋神星的 1/25 都不到。

4S 的第三行给出热平衡方程,把 TSS Teq 与邦德反照率 A = pVq 联系起来,其中 pV 是在可见光波段的(大部分太阳流量是以这一波段发射的)几何反照率,q 是相位积分,而 η 是束流因子,用于描述表面粗糙度的影响(这种影响会提高相位角很小时的热辐射),遵照 NEATM [43] 和混合 STM/ILM 公式体系 [22] 。量 T0 是在阋神星距离处具有单位发射率的理想漫射和完全吸收面日下点平衡温度,T0 = [F(r)/σSB]1/4 ,其中 F(r) 是在离太阳 r 距离处对所有波长积分的太阳流量,而 σSB = 5.670×10-8 瓦·米-2·开-4 斯特藩-玻耳兹曼常数。使用 F1 天文单位)= 1,367 瓦·米-2·开-4 r = 96.9 天文单位,我们获得 T0 = 40.0 开。求得的以 TSS Teq 表示的解在表 5S 给出。

最后,表 4S 的第四行把流量密度 Sν 与这颗矮行星的视面平均亮温度 Tb 联系起来,即与阋神星一样大小、发射的朝向观测者的流量密度为 Sν 的一个理想黑体的温度。

在缓慢自转模型中,拟合 70 微米流量的日下点温度是 TSS = 33.5±1.4 开,而 1200 微米流量则给出 TSS = 46.8±9.3 开。能与斯皮策和 IRAM 的测量结果都能令人满意地符合的折衷是 TSS ~ 35 度(图 5S),两者均能符合到它们各自的误差范围之内。在快速自转模型中,70 微米流量意味着 Teq = 31.7±1.3 开, 70 微米的数据和 1200 微米的数据符合得令人满意(图 5S)。

最后,我们的掩星测量给出的几何反照率 pV = 0.96+0.09-0.04 。采用标准值 ε = 0.9 [22] ,表 4 的第三行中就只有两个自由模型参数 η q 。使用标准热模型,即 TSS ~ 35 开,而且粗糙度的取值在 η = 1(完全不粗糙)至 0.7(表面非常粗糙)的似乎合理的范围内,得出 q = 0.49 0.66 ,这与根据土星最亮的冰卫星土卫一、土卫二、土卫三、土卫四和土卫五的几何反照率和热反照率 [20,23] 推断的结果(q = 0.51 0.63)完全一致,见正文。

 

补充表 5S  对于 1,163 千米半径的热流量和温度制约

 

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a 温度误差中主要是流量的误差,不是我们的半径的测定值的误差。

b 取自参考文献 [22]

c 取自参考文献 [11]

 

相反,纬度等温模型则导致 q 的极端情况。即使按可能性较低的值 Teq = 31.7 开,并采用 0.9 > η > 0.7 ,我们得到 0 < q < 0.24 ,这一取值范围令人难以置信,因为明亮的天体应该相位积分也大 [24] 。如果我们注意到,对于 η 的下界 0.7 ,没有昼夜温差实际上是不现实的 [44] ,那么情况就甚至更糟了。

7  大气上限

阋神星的大气,如果有的话,应主要由氮气 N2(或者可能还有氩气 Ar)加上痕量的甲烷 CH4 组成 [1] 。然而,大气的热结构尚未知。如果阋神星大气中甲烷的丰度与冥王星类似(0.5% [4]),那么 CH4 的近红外太阳辐射吸收可能会提高上层大气的温度。在这种情况下,阋神星上层大气温度的一个粗略估计,可以简单地从甲烷的“恒温器模型”获取,其中,通过 7.7 微米甲烷谱带的发射,与近红外加热取得平衡 [45] 。由于阋神星处的入射太阳流量只有冥王星处的 1/10 ,这一模型预测阋神星上层大气温度为 94 开(相比之下,冥王星为 106 开)。于是,如果阋神星的大气温度随高度的变化类似于冥王星,它在表面处的温度就应该接近 30 开,并在几千米厚的平流层中温度逐渐上升,在上层大气中达到 94 开的等温状态。请注意,冥王星的恒温器模型 [45] 假设它的大气在光学上是薄的。虽然更细致的模型 [46] 表明情况并非如此,但把它处理成光学上薄的,仍然提供了正确的上层大气温度,因此上述的比例处理方法仍是正确的。

然而,对于阋神星来说,大气中 CH4 的丰度达 0.5% 是不大可能的。在冥王星上,丰度升高(与依据理想 N2 CH4 混合物中蒸汽压强平衡所预期的丰度相比)的最好解释为小块纯净的“温”甲烷冰的存在。这些小块甲烷冰被认为比氮冰的温度要高 10 15 开,因为 N2 的温度主要受 10 微巴大气的潜热流量控制,这一流量对于缓冲等温 N2 霜和空间均匀的大气压强来说足够大了。阋神星的情况不是这样,这里的大气目前至少比冥王星上稀薄 3 个数量级,因此局部的 N2 冰温度应取决于当地的日照条件,而不是升华和凝结过程。

潜热流量在确立 N2 温度的热流量中占主导地位,可通过无量纲参数 I = Lm'/σSBT4 = LfrP/(CSσSBT4) ,其中 L 为升华潜热,m' 为升华的质量流量,P为大气压强,CS 是声速,而 fr 是饱和大气压强和实际大气压强之间的压强差,以分数表示 [47] 。当 I 的值很大时,升华过程在来自太阳(日照)的局部能流中占主要地位,并致使冰等温。按照在冥王星上普遍存在的条件,得到 I = 5,200,其中使用典型的 fr = 0.1 [47])。在阋神星上,使用 ~ 5 纳巴的最大压强,和 T = 30 开,我们得到 I < ~ 2,表明潜热流量至多与来自表面的热辐射流量相当。

 

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5S  阋神星的热模型。在 70 微米和 1200 微米附近观测到的阋神星热流量,以毫杨斯基计量(见表 5S 和参考文献 [11,22]),与文中所讨论的各种模型相比,假设半径 RE = 1,163 千米,以及对于矮行星标准发射率 [22] ε = 0.9 。请注意,在 24 微米处(箭头)只有一个上限可以利用。绿色:由均匀亮温度 Tb = 31 开的黑体辐射预计的流量。.红:使用标准热模型(STM)或缓慢自转模型预计的流量,取日下点温度 TSS = 35 开。蓝:使用纬度等温模型(ILM)或快速自转模型预计的流量,取赤道温度 Teq = 31.7 开。所有模型都在 1.5σ 或更好的范围内与 70 微米和 1200 微米的测量结果一致,从而令人满意地描述了数据。

 

因此,N2 冰的表面温度可能主要由当地的日照条件驱动。特别是,我们预测的日下点温度至少为 32 开(表 5S),对应于 N2 平衡蒸汽压强 [48] 大于260 纳巴,比这里得到的上限高出许多。因此,在阋神星的日下点可能存在局部的 N2 大气,而且这一大气层在边缘和黑夜一侧冻结了起来,达到了检测不到的程度(小于几纳巴),就如木卫一的情形一样 [49] 。要证实这一点,将需要有详细的模型。

请注意,在阋神星上如果有纯甲烷冰所覆盖的地区,那么它们不应该明显比 N2 冰所覆盖的地区温暖。阋神星的表面 [1] 大片的甲烷丰度为 10% ,与处在 N2 中的 CH4 的溶解度极限 [50] 相近,这一极限意味着开始有纯冰颗粒形成。假设有这样的纯甲烷冰粒存在,但处在与 N2 相同的温度,那么大气的 CH4 /N2 由它们在 ~ 30 开时的蒸汽压强的比值给出,即最高为 10?5 的几倍。如果不存在纯甲烷颗粒,而且表面的 CH4 /N2 比例是 10% ,那么大气的 CH4 /N2 将进一步降低到上述的 1/10

我们的结论是阋神星的大气中甲烷丰度可能的范围为 10?5 10?6 。虽然将需要细致的模型,但是要产生一个显著的平流层,这很可能是不够的,而且我们赞成不管怎样阋神星的大气层在 ~ 30 开附近是等温的。更精确地说,在考虑这样的大气时,我们假设表面压强对应于所给温度下的饱和值 [48] 。如魏德曼等人 [29] 所详细描述的,我们已经使用射线追踪程序生成了由稀薄大气造成的合成光变曲线(见图 3)。采用近 30 开氮气等温大气,我们得出上限约 1 纳巴(1σ 限制),见图 3。采用类似冥王星的大气层(表面附近 30 开,上层大气 94 开),我们将得到与等温模型相比高 3 – 4 倍的上限。

对于等温的纯甲烷或纯氩气大气,我们也可以把上限置于约 1 纳巴。为了在这样的压强下升华 [48] ,甲烷冰的温度应该为约 37 开。因为我们的表面温度估计与这一数值相差不多或者更低,所以没有能检测到 CH4 大气是正常的。

最后,我们注意到,阋神星如果确实被 N2 冰覆盖,那么当它接近 37.8 天文单位处的近日点时,可能会发展为一个大气层。在这种情况下,N2 冰的温度会受到氮大气层缓冲,意味着昼夜两半球上将有恒定的温度。假设最大邦德反照率为 0.7(像土卫二 [23] 那样的典型的明亮天体),我们预计表面平衡温度至少有 ~35 开,高到足以维持 2 微巴或更高的类似冥王星的大气层。阋神星的这一大气层在远离近日点时可能会坍缩,从而说明了它目前的明亮表面是由于覆盖着很薄的氮冰层造成的。


(原文引用的参考文献目录从略,需要者请检索原文。译文仅供学习交流,严禁出版和商业使用。)

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